選択された日付を取得するには Dateプロパティを使用します。

以下はButtonがクリックされた時に、DatePickerで選択されている日付を取得する例です。

MainPage.xaml
  <DatePicker x:Name="datePicker01" />;
<Button x:Name="button1" Text="日付を取得する"  />
MainPage.xaml.cs
  namespace datePickerSample02
{
    public partial class MainPage : ContentPage
    {
        public MainPage()
        {
            InitializeComponent();

            // ボタンクリック時の処理
            button1.Clicked += (sender, e) =>
            {
                // Dateプロパティの値を文字列に変換して表示
                DisplayAlert("", this.datePicker01.Date.ToString(), "OK");
            };
        }
    }
}          

実行例を以下に示します。