選択された日付が変更されたことを知るには DateSelectedイベントをを使用します。

以下は、選択されている日付が変更されたときに、その日付をラベルに表示する例です。

MainPage.xaml
  <DatePicker x:Name="datePicker1" />
<Label x:Name="labelDate" Text="選択なし"/>
MainPage.xaml.cs
  namespace datePickerSample03
{
    public partial class MainPage : ContentPage
    {
        public MainPage()
        {
            InitializeComponent();

            datePicker1.DateSelected += (sender, e) =>
            {
                // Dateプロパティの値を文字列に変換して表示
                labelDate.Text = this.datePicker1.Date.ToString();
            };
        }
    }
}          

実行例を以下に示します。